香港人文哲學會網頁　http://www.arts.cuhk.edu.hk/~hkshp 思考方法第八講 梁光耀 在第四講中主要引介了「對確」這個概念，現在就讓我們繼續講述「邏輯方法」這部分 的另一半內容──討論用來判斷論證是否對確的方法。 我們提過其中兩個邏輯系統，分別是「定言三段論」和「命題邏輯」。為了方便論述起 見，我們不會講解一個邏輯系統是怎樣構造出來，甚至我所採用的語言也不見得嚴謹[1]， 或許這不是一個正確論述邏輯的方法，不過，我姑且一試。 我們講過在「命題邏輯」這個系統裡面，用來判斷論證是否對確的其中一種方法是「真 值表法」，而在「定言三段論」這個系統中，亦有很多判斷論證是否對確的方法，我們會講 的是「范氏圖解」這種方法。 現在我們先講「真值表法」。「命題邏輯」又叫做語句邏輯，因為在這個邏輯系統中， 推論是以語句作為變數的單位，我們可用「p」、「q」、「r」、「s」等符號去代表不同的 語句；另外，還有一些邏輯字(或者叫做邏輯連詞)，它們的功能是用來連接語句。它們的符 號分別是「∼」、「•」、「ｖ」、「Λ」、「→」和「≡」[2]。 「∼」這個符號是類似於我們日常語言中「非」或「不是」的意思。假如我們以「p」 這個符號代表「天下雨」這個語句，那麼「不是天下雨」這語句就可以「∼p」來表示。 「•」這個符號是類似於「並且」的意思。假如「p」和「q」這兩個符號分別代表「我 喜歡哲學」和「我喜歡藝術」這兩個語句，則「p•q」的意思就是「我喜歡哲學並且我喜歡 藝術」這句子的意思。 「ｖ」這個符號是類似於「或者」的意思，至於「Λ」是類似於另一個「或者」的意思 ，在我們日常語言中，「或者」可以有兩個意思，一個是帶有不排斥性的或者，另一個是帶 有排斥性的或者，例如：「你的咖啡要糖或是要奶呢？」在這句說話中的或者是不排斥的， 你可以要糖和要奶；又例如：「你明天早上九時會在香港島或是九龍？」這裡所用的或者則 是有排斥性，因為如果你在香港島的話，就不可能(同一時間)在九龍。假若以「p」代表「 我會讀哲學」這個語句，以「q」代表「我會讀藝術」，那麼「pΛq」就是「我會讀哲學或 者我會讀藝術」這句句子的意思。 「→」這個符號是約莫於我們平時講的「如果…則…」的意思。例如「如果天下雨則地 下濕」這句子就可寫成「p→q」(以「p」代表「天下雨」，「q」代表「地下濕」)。 至於「≡」這個符號並沒有在我們的日常語言中有所對應，我們可把它叫做「當且僅當 」。「我領到薪酬當且僅當請你吃飯」這語句可寫成「p≡q」(以「p」代表「我領到薪酬」 ，「q」代表「請你吃飯」)。其實我們可以「→」這個符號去界定「≡」這個符號： p≡q Df (p→q)•(q→p) 有時我們會叫「p→q」做條件式。從以上的界定可知「p≡q」是雙向條件式，因此 「p≡q」又可以寫成「p＝q」。那麼，「我領到薪酬當且僅當請你吃飯」(p≡q)這語句的意 思就是「如果我領到薪酬則請你吃飯，並且如果我請你吃飯則我領到薪酬」 [(p→q)•(q→p)]。 在「命題邏輯」這個系統中，語句只可能有兩個值，「真」值或是「假」值，是真的就 不是假，不是真就是假[3]。以下要介紹的就是以上六個邏輯連詞的真值表： T表示「真」值 F表示「假」值 表一「∼」 p ∼p ────── T F F T 當「p」這個語句是真的時候，「∼p」這個語句就是假的，例如當「現在天下雨」這語 句是真，「現在不是天下雨」這個語句就是假的。 表二「•」 p q p•q ───────── T T T T F F F T F F F F 當涉及到兩個語句的時候，自然就有四種真假值的組合。而只有一種情況令得「p•q」 是真的，就是當「p」是真的而「q」又是真的。 表三「ｖ」 p q pｖq ───────── T T T T F T F T T F F F 既然「ｖ」是或者的意思，那麼，只有當「p」和「q」都是假的時候，「pｖq」才是假 的。而只要「p」或「q」任何一個是真的時候，「pｖq」都是真的。 表四「Λ」 p q pΛq ───────── T T F T F T F T T F F F 既然「Λ」是排斥性的或者，那麼，就不可能出現「p」、「q」同時是真的情況。因此 當「p」和「q」都是真的時候，「pΛq」就是假的。 表五「→」 p q p→q ───────── T T T T F F F T T F F T 只有一種情況會令得「p→q」是假的，就是當「p」是真的而「q」卻是假的時候，其他 情況的「p→q」都是真值。 表六「≡」 p q p≡q ───────── T T T T F F F T F F F T 「≡」這個符號是等值的意思，即相同的真假值，故只有「p」和「q」是同真或同假的 時候，「p≡q」才是真的。 表七 p q p→q q→p (p→q)•(q→p) p≡q ────────────────────── T T T T T T T T T F F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T T T 前面我們講過「p≡q」即是「(p→q)•(q→p)」我們可用真值表(見表七)去證明。 現在我想引介「真句涵蘊」這個概念。無論一個語句怎樣複雜，例如： [(p→q)•(q→r)•(r→s)•∼s]→(∼p) 但它的真假值最終是決定於它入面的子語句(p,q,r,s)的真假值和邏輯連詞(→,∼,•) 。 我們可以表二再加以說明：「p•q」這個語句的真假值是決定於「p」「q」的真假值， 與及「•」這個符號的運用，當「p」是真，而「q」又是真的時候，「p•q」的值就是真值 。 以上我們介紹了甚麼是真值表，現在就看看如何運用這些真值表去判斷一個論證(在命 題邏輯中)是否對確。就以下面的論證為例： 例一： 如果天下雨則地下濕。 前提 天下雨。 ───────────── ∴ 地下濕。 ｝結論 我們先將這個論證的形式陳構出來。以「p」代表「天下雨」，「q」代表「地下濕」， 「→」代表「如果……則……」，就得出以下的論證形式： 例二： p→q p ──────── ∴ q 然後將以上的論證形式寫成一橫式： (p→q)•p → q ︸ ↑ ↑ 前提 推論 結論 以上兩個前提可用「•」(並且)連接起來，得出(p→q)•p，另外「→」這個符號又可 用作表示推論(其真值表沒有改變)。 接著我們可將以上的論證形式的真值表陳示出來： p q p→q (p→q)•p (p→q)•p → q ────────────────────── T T T T T T T T F F F F T F F T T F F T T F F T F F T F 我們只要依照以前所講的真值表(表一至表六)去做，到最後會發現在任何情況下(「p」 和「q」的真假值的所有組合)，「(p→q)•p→q」都是真值，換句話講，「(p→q)•p→q」 是一恆真式(Tautology)。因此，在任何情況下，這個推論都是成立的，所以這是一對確的 論證。 是以，判斷一個論證是否對確的方法就是用真值表去檢視其論證形式是否一恆真式。若 有「假」值的情況出現，則不是恆真式，亦不是一對確論證[4]。 例三： p→q q ─────── ∴ p 此論證的橫式如下： (p→q)•q→p 其真值表如下： p q p→q (p→q)•q (p→q)•q → p ────────────────────── T T T T T T T T F F F F T T F T T T T F F F F T F F T F 由於「(p→q)•q→p」並不是在任何情況之下都是「真」值，因為在第三行有「假」值 出現，故不是對確論證。 有時我們遇上一些很複雜的論證形式，例如： [(p→q)•(q→r)•(r→s)•∼s]→(∼p) 如果用真值表去證明它是否對確則會很花時間： p q r s p→q q→r r→s ∼s (p→q)•(q→r)•… ────────────────────── T TT T T T T F … T FF F F T T T … F TT T T T T F … F FT F T T F T … … … … … … … 我們可用一個比較快捷的方法，名為「歸繆法」，方法是首先假定一個論證是不對確的 ，然後去做推論，如果推出自相矛盾的結論出來的話，就能夠反證出這個論證其實不是不對 確，即是對確的。 如果「[(p→q)•(q→r)•(r→s)•∼s]→(∼p)」這個論證形式是不對確的話，根據表 五「→」這個符號的真值表，只有一種情況是「假」值，就是前提真而結論假，換言之「 [(p→q)•(q→r)•(r→s)•∼s]」是真值，「(∼p)」是假值。若∼p是假值，則「p」是真 值(見表一)。由於「 [(p→q)•(q→r)•(r→s)•∼s]」是真值，那麼，由連言「•」連接起來的語句本身也是 真值(見表二)，「p→q」是真，「q→r」是真，「r→s」是真，「∼s」也是真(即「s」是 假)。現在「r→s」是真，「s」卻是假，那麼「r」一定是假(見表五)。「q→r」是真，「r 」是假，則「q」亦是假。「p→q」是真，「q」是假，「p」亦是假，可是，前面我們又得 「p」出是真值，換言之，「p」既是真又是假，有自相矛盾的情況出現，所以此論證不是不 對確的，即是對確的。 註 釋 [1]例如我沒有將語句和命題作出區分。 [2]要注意的是，這些邏輯符號並沒有統一的用法，例如有些邏輯家會以「Λ」表示「並且 」的意思，「→」這個符號又可寫成「 」，「≡」的另一個寫法是「＝」。 [3]我們現在談的是二值邏輯，多值邏輯不會在我們的討論之內。 [4]所有的對確論證形式都是恆真式，但並不是所有恆真式都是對確的論證形式，例如：「 p≡p」是一恆真式，但並不是一對確論證形式，因為它根本連論證形式也不是，自然也不會 是對確的論證形式。  Copyright (c) Hong Kong Society of Humanistic Philosophy. All Rights Reserved.